Álgebra
OBJETO DE CONHECIMENTO (EF04MA11)
Sequência numérica recursiva formada por múltiplos de um número natural
HABILIDADE (EF04MA11)
Identificar regularidades em sequências numéricas compostas por múltiplos de um número natural.
COMENTÁRIO (EF04MA11)
Identificar as regularidades presentes em sequências numéricas compostas por múltiplos de um número natural implica observar sequências como 0, 2,4,6,8,12,16... e identificar regularidades, tais como a de que todos esses números são obtidos quando multiplicamos um número natural por dois (são múltiplos de 2); ou que cada termo da sequência 0, 3, 6, 9, 12, 15... é obtido multiplicando um número natural por 3 (sequência dos múltiplos de 3), e assim por diante. A introdução de termos como "fator" e "múltiplo de" é recomendada. Não é prevista a aprendizagem do significado e do cálculo do mínimo múltiplo comum.
POSSIBILIDADES PARA O CURRÍCULO (EF04MA11)
Na elaboração do currículo, é importante que os alunos compreendam o significado de múltiplo de um número e que explorem regularidades dos fatos básicos da multiplicação. Também deve ser destacada a importância de os alunos registrarem por escrito as regularidades observadas; por exemplo, que todo número múltiplo de 2 é par, que os múltiplos de 4 também são múltiplos de 2, que os múltiplos de 6 são ao mesmo tempo múltiplos de 2 e de 3, etc. Para isso, pode-se solicitar aos alunos que preencham tabelas de múltiplos de diferentes números entre 1 e 10 e que comparem os múltiplos de um número com os de outro, registrando as observações. Ao comparar múltiplos de 3 e 6, por exemplo, os alunos podem perceber que cada múltiplo de 6 vale o dobro do correspondente múltiplo de 3, ou que cada múltiplo de 3 têm valor equivalente à metade do correspondente múltiplo de 6.
OBJETO DE CONHECIMENTO (EF04MA12)
Sequência numérica recursiva formada por números que deixam o mesmo resto ao ser divididos por um mesmo número natural diferente de zero
HABILIDADE (EF04MA12)
Reconhecer, por meio de investigações, que há grupos de números naturais para os quais as divisões por um determinado número resultam em restos iguais, identificando regularidades.
COMENTÁRIO (EF04MA12)
Reconhecer, por meio de investigações, que há grupos de números naturais para os quais as divisões por um determinado número resultam em restos iguais, identificando regularidades, implica em identificar dividendo, divisor, quociente e resto em uma divisão e analisar a relação entre eles, buscando um padrão para expressar uma regularidade. Por exemplo, observar que cada número da sequência 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, ... ao ser dividido por 3 o resto é 1. Essa regularidade pode ser assim expressa: 1 = 3x0+1; 4 = 3x1+1; 7 = 3x2 +1; 10 = 3x3+1; 13 = 3x4+1, etc.
POSSIBILIDADES PARA O CURRÍCULO (EF04MA12)
Na elaboração do currículo, deve inicialmente ser proposto aos alunos que analisem o que ocorre quando se divide um número par por 2, ou um número múltiplo de 10 por 5, ou um número terminado em 0 ou 5 por 5 e pedir o registro do padrão observado (resto zero em todos os casos). Da mesma forma, é possível propor problemas nos quais se analisa o que ocorre com o resto na divisão de um número ímpar por 2 (o resto será igual a 1). Esse tipo de atividade reitera o indicado na habilidade anterior. No entanto, para desenvolver esta habilidade é preciso ir além de sequências de pares, de ímpares ou de múltiplos de um dado número. Um exemplo para essa ampliação é a identificação de semelhanças e diferenças entre sequências, como: as sequências (I) 0, 3, 6, 9 ... (II) 1, 4, 7, 10, ..., (III) 2, 5, 8, 11, ... têm em comum a diferença 3 entre cada elemento, a partir do segundo, e seu antecessor. Entretanto, apenas a sequência I é composta por múltiplos de 3 (deixam resto zero na divisão por 3). Todos os elementos da sequência II deixam resto 1 na divisão por 3 e todos os elementos da sequência III deixam resto 2 na divisão por 3. A partir dessas conclusões pode-se perguntar: o número 28 pertence a qual sequência? O aluno deverá compreender que para responder a essa questão ele não precisará escrever os números seguintes de cada sequência e que basta ele dividir o número por 3 e observar o resto. Há jogos que também são úteis na exploração desta habilidade. Não se espera que os alunos memorizem regras, nem critérios de divisibilidade.
OBJETO DE CONHECIMENTO (EF04MA13)
Relações entre adição e subtração e entre multiplicação e divisão
HABILIDADE (EF04MA13)
Reconhecer, por meio de investigações, utilizando a calculadora quando necessário, as relações inversas entre as operações de adição e de subtração e de multiplicação e de divisão, para aplicá-las na resolução de problemas.
COMENTÁRIO (EF04MA13)
Reconhecer as relações inversas entre as operações de adição e subtração envolve a compreensão de que, se a + b = c, então, c – b = a e c – a = b. Por exemplo, se 12 + 5 = 17, então, 17 – 12 = 5 e 17 – 5 = 12. Reconhecer as relações inversas entre as operações de multiplicação e divisão implica saber que, se a x b = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0, então, c ÷ a = b e c ÷ b = a. Por exemplo, se 5 x 6 = 30, então, 30 ÷ 5 = 6 e 30 ÷ 6 = 5. A investigação das relações e a resolução de problemas, com e sem o uso da calculadora, seguidas do registro escrito das relações observadas, são o que se espera para o desenvolvimento da habilidade.
POSSIBILIDADES PARA O CURRÍCULO (EF04MA13)
Na elaboração do currículo, tem relevância o fato de que as relações entre as operações aritméticas aparecem como habilidade integrando álgebra e a aritmética porque as relações entre as operações inversas são essenciais para procedimentos de cálculo, em particular o cálculo mental. A investigação dessas relações, inclusive com o uso da calculadora, será útil para resolver problemas diversos, como "Pedro tinha 18 figurinhas, ganhou mais algumas de ficou com 25; quantas figurinhas ele ganhou?" ou "o produto entre dois números é 28; sabendo que um dos números é 14, qual é o outro número?". Problemas envolvendo operações nas quais os números são substituídos por letras ou figuras também são úteis para explorar esta habilidade. Assim, justificar a solução encontrada para os problemas por meio da análise das relações observadas e do registro das relações estabelecidas é essencial para que os alunos desenvolvam competências da área relacionadas ao letramento em matemática.
OBJETO DE CONHECIMENTO (EF04MA14)
Propriedades da igualdade
HABILIDADE (EF04MA14)
Reconhecer e mostrar, por meio de exemplos, que a relação de igualdade existente entre dois termos permanece quando se adiciona ou se subtrai um mesmo número a cada um desses termos.
COMENTÁRIO (EF04MA14)
Reconhecer e mostrar, por meio de exemplos, que a relação de igualdade existente entre dois termos permanece quando se adiciona ou se subtrai um mesmo número a cada um desses termos requer, primeiramente, que se compreenda o sentido de equivalência: se a + b = c + d, então c + d = a + b. Partindo dessa compreensão, por meio de investigação e observação de regularidades, será possível dar exemplos para indicar a relação expressa na habilidade, como: se 2 + 6 = 7 + 1, então 2 + 6 + 3 = 7 + 1 + 3; se 16 – 5 = 11, então, 16 – 5 – 3 = 11 – 3; se 4 x 5 = 20, então 4 x 5 – 7 = 20 – 7; se 18 : 3 = 6, então, 18 : 3 + 4= 6 + 4 .
POSSIBILIDADES PARA O CURRÍCULO (EF04MA14)
Na elaboração do currículo, deve ficar clara a importância de se compreender os significados do sinal de igualdade a para o desenvolvimento do pensamento algébrico. Uma compreensão relacional do sinal de igualdade implica entender que ele representa uma relação de equivalência. Nos anos iniciais, essa relação é, muitas vezes, interpretada como significando "é a mesma quantidade que" ao expressar uma relação entre quantidades equivalentes. Quando se explora a equivalência, os alunos precisam saber que 8 = 8 e 8 = 3 + 5 são escritas verdadeiras e que 8 + 3 = 11 + 8 é falso, já que 8 + 3 e 11 + 8 não são equivalentes. Essa compreensão é necessária para o uso do pensamento relacional na resolução de equações em situações, tais como 9 + 4 = b + 7. Usando o pensamento relacional, é possível argumentar que, uma vez que 7 é 3 mais do que 4, então b deve ser 3 menos do que 9. Essa capacidade de argumentar sobre a estrutura na comparação de duas quantidades é um aspecto do pensamento algébrico. É recomendado, também, que, ao explorar a ideia de equivalência, os alunos percebam que, se 4 = 6 - 2, então, 6 - 2 = 4 ou, ainda, que 2 x 4 x 3 = 3 x 6 x 1, isto é, que uma mesma quantidade pode ser escrita de formas diversas. As investigações a respeito da equivalência são feitas com análise de escritas matemáticas diversas, bem como pela expressão e registro de conclusões.
OBJETO DE CONHECIMENTO (EF04MA15)
Propriedades da igualdade
HABILIDADE (EF04MA15)
Determinar o número desconhecido que torna verdadeira uma igualdade que envolve as operações fundamentais com números naturais.
COMENTÁRIO (EF04MA15)
Determinar o número desconhecido que torna verdadeira uma igualdade que envolve as operações fundamentais depende da compreensão da relação entre as operações, bem como do significado do sinal de igualdade como a ideia de que, se somar ou subtrair quantidades iguais aos membros de uma igualdade, a relação de igualdade existente não se altera.
POSSIBILIDADES PARA O CURRÍCULO (EF04MA15)
Na elaboração do currículo, é importante explicitar que o conhecimento desta habilidade depende de conhecimentos anteriores (expressos nas habilidades EF04MA04, EF04MA05, EF04MA12, EF04MA13 e EF04MA14). No entanto, aqui, as relações anteriores podem ser materializadas para resolver problemas, cuja solução envolve o cálculo de um valor desconhecido em uma igualdade. Não se trata de reduzir a habilidade a um simples trabalho mecânico de calcular o valor desconhecido da sentença, mas de utilizar as relações estudadas para determinar esse valor, tendo compreensão das relações e justificando as escolhas feitas. Atividades e problemas sugeridos na descrição das habilidades conexas mencionadas são bons contextos para o desenvolvimento desta habilidade, que, em resumo, pode ser entendida como síntese das demais.
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